円周率πの範囲を調べましょう。π＝3.14……だということはご存じだと思います。しかし、「証明しろ」と言われたら？ これは結構難しい。実は前、東大の入試で円周率の値に関する問題が出ていたそうです。「円周率πとするとき、π＞3.05 であることを示せ」というものです。コミックス『ドラゴン桜』にも載っているそうな。念のため、円周率とは「円周の長さ÷直径」のことです。ぼくもやったことがありますが、茶筒かなんかに糸を巻いて茶筒の直径で割り算すればだいたい3.1くらいにはなりますが、これでは証明になっていません。
ちゃんと考えましょう。半径ｒ＝1の円では円周L＝2πｒ＝2πなのだから、東大の問題は L＞2×3.05＝6.1 であること、つまり L ＞ 6.1 を示せば解決、となります。下の図を見てください。
半径1の円に正8角形が内接しています。この正8角形の周の長さを求めてみましょう。図の3角形で余弦定理を用いて
ゆえに
よって ａ＞0.764 となります。なお、
であることに注意してください。辺は8本あるから、（正8角形の周）＞0.764×8＝6.112。円周Ｌの方が正8角形の周は長いのだから、Ｌ＞6.112 が成立。これで Ｌ＞6.1 が示せました。面白い……。
π＞2.8 ならもっと簡単に示せます。同じように、下の図を使います。
なので、(正方形の周)＞1.4×4＝5.6。円周Ｌ＝２π はこれよりも長いですね。だから 2π＞5.6。よって π＞2.8。これだけです。正方形でなく、正6角形を使えばπ＞3を示せます。
