いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

物理数学とのつきあい方

 物理・工学でやる数学とのつきあい方についてひと言。普通の数学とは別に物理数学と言われる数学があります。ちゃんとした定義は知りませんが、(大学以降で)物理の勉強を進める上で必要な数学全般を指すようです。大学の授業の科目名になっていたり、本のタイトルなどでもたくさん見かけます。大学で物理や工学を専攻するとこれを勉強しなければなりません。物理数学の本では、もちろん載っている定理自体は数学の定理であって正しいものですが、その証明は頭を抱えたくなるくらい雑なものもあり(ごめんなさい……。でも本当なのです。もちろんものによりますが)、ぼくは学生の頃は「なんだ、こりゃ」みたいな印象を持っていました。しかし今そういった本を見てみると面白いです。一応一定のルールはあるし、相手が物理の場合にはイメージも明確だし、物理の問題も解けるようになるし、楽しいです。この物理数学ですが、大学の数学科の学生はε-δ(イプシロン・デルタ)論法など、基本的な部分から徹底的に勉強するので、物理専攻の友だち連中が勉強している物理数学の問題を持って来られても(知らない問題なので)解けないことも多いのです。例えば、物理では微分方程式というものがたくさん出てきます。理系で物理をやっているなら知っていると思いますが、物体の運動を調べるにはニュートン運動方程式が必要です。F=maというやつです。1次元の問題(動きが直線上に限定される問題)では結局これを解いてx(つまり各時刻での物体の位置)を求められればよいのですが、a=x''(aは加速度、微分は時刻tでの微分を意味します)ですから、運動方程式F=maには位置xの第2次導関数が含まれています。このような、関数の導関数や第2次導関数などが含まれている方程式を微分方程式と言うのです。微分方程式を解く一般的な方法は存在せず、たいていは解けないと言っても過言ではありません。前は高校で何パターンかは教えてくれていて、物理が好きだったぼくは速さによって空気抵抗が変わって速度が変化するような問題(空気中で物体を落とすとか)でも微分方程式を立てて解けば任意の時刻の速さが計算できることに驚きました。でも、こうして解けるのは易しいものだけです。高校で出てくるのはごくごく簡単なものばかりです。カリキュラムによるかも知れませんが、大学の数学科では微分方程式を全部の学生に勉強させることはありません。他にやらなければならないことも多いし、理論的にしっかりやろうとすると大変だからです。微積分の中で少し出てくるくらいでしょう(ぼくもきちんと勉強したことはありません)。しかし物理ではそんなことを言っていたら何もできませんから、(理屈はともかく)とにかく解けるように、ということで物理数学の中では大事なテーマになっています。物理を専攻すると、数学科よりも早く、数学の学生が解けないような数学の問題を解かされるのです。物理や工学の学生はそういった苦労をしています。数学の学生は「ロクに証明もせずに……」と考えがちな部分はありますが、それは視野が狭いというものです。そもそも立場があり、物理や工学の人は数学が専門ではないのですから数学に割く時間には限りがあります。他にやらなければならないことがたくさんあるのです。

 どこで何が役に立ったり参考になったりするのか、特に今どきはもう分かりません。いろいろなことに興味を持って何でも勉強するのがよいと思います。