よくある恒等式の問題です。教科書にも載っています。
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次が恒等式になるよう、定数ａ，ｂを定めなさい。
解答？
分母をはらって
ｘ＝ａ(ｘ－2)＋ｂ(ｘ－1) ……②
これが恒等式となればよい。ｘ＝1、ｘ＝2で②が成立するようａ，ｂを定めるとａ＝－1，ｂ＝2
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よく、「もとの式でｘ＝1，2を代入してはいけないのに②で代入してもよいのか」と聞かれます。実はよいのですが、理由が問題です。「分母をはらってあるから、代入してもよいのだ」なんて説明を聞くことも。これで納得するならいいですが……。
ｘ≠1，2 の条件の下で ①⇔② ですから、ｘ≠1，2のときに②が成立するよう、ａ，ｂを定めればよろしい。ところが②については
②がｘ≠1，2で成立 ⇔ ②が異なる2つのｘの値に対して成立（ ⇔ ②が恒等式）
が成立します。②は（1次以下の式）＝0 と同値だからです。従って②がｘ＝1，2のときに成立するようａ，ｂを定めればよいのです。
「ｘ＝1，2を代入してよいのか」と質問する生徒は多分数学が好きなんだと思います。いい加減にはしたくないからそういうことを聞くのでしょう。せっかくですから、いろいろ話をしてやるとよいと思います。
