ぼくの恩師の出題です。数学オリンピックの予想問題だそうな。
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パーティーで4組の夫婦（8人）が会い、お互いに握手をしました。あらゆる組み合わせで、というわけではありません。つまりある人はある人と握手をしなかった、ということがあり得ます。また夫婦は握手しません。それぞれの人が交した握手の回数を握手数と呼びましょう。8人のうちの1人、Aさんが他の7人に握手数を聞いたところ、すべて異なっていました。このとき、Aさんの配偶者、ａさんの握手数を求めてください。
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面白そうでしょう？ ぼくはこう考えました。見やすく、下の表を作ります。
Ａさんの配偶者はaさん、というように夫婦は同じ文字の大文字小文字の組み合わせで表すことにします。この問題を考えるには表の右上部分だけを相手にすればよいですね。例えばＢ－ｃという組み合わせとｃ－Ｂという組み合わせは同じだからです。網がけになっているマス目に○を入れたら、対応する人が握手をしたことを意味します。図ではＡ－Ｃが握手したことになっています。
さて、図は文字を順番に並べただけで、実際に本当のＡさんがどれなのか、まだ分かっていないことに注意しましょう。図ではA,B,C,D,a,b,c,dさんはそれぞれ最大で6,5,4,3,3,2,1,0回、握手できますが（○を入れられる）、（本当の）Ａさん以外の人は握手数がすべて異なっていたのですから、Ａさんの握手数は3回で、Ａさん以外の7人の握手数は6,5,4,3,2,1,0の並べ替えでなければなりません。図では握手数が3回の人はDとaですから、本当のAさんはこの2人のうちのどちらかです。Dさん、aさんの配偶者はどちらも握手数は6回です。これで分かりました。Ａさんの配偶者の握手数は6回です。
一般化もできるようです。面白い問題、いくらでもあるなあ……。
