２ｘ＋３ｙ＝１（ｘ、ｙは整数）……① を解きましょう。特に難しいというのでもなく、教科書にも載っている普通の問題です。
まず特殊解を見つけます。つまり①を満たすｘ、ｙの具体例を見つけます。カンで分かるでしょう。ｘ＝ー１、ｙ＝１でよいですね。するともちろん
２・(－１)＋３・１＝１……② が成立です。
①－②より、２(ｘ＋１)＋３(ｙ－１)＝０
よって２(ｘ＋１)＝－３(ｙ－１)……③
ゆえにｘ＋１＝－３ｋ（ｋは整数）……④
よってｘ＝ー３ｋ－１です。
③に④を代入すれば２(－３ｋ）＝－３(ｙ－１)
よって２ｋ＝ｙ－１
ゆえにｙ＝２ｋ＋１です。
かなり丁寧に書きました。それにしてもちょっと面倒です。別の方法を紹介しましょう。
前、合同式について定義や基本的な定理を示しました。この合同式を使います。もとの方程式２ｘ＋３ｙ＝１は、
２ｘ≡１（mod 3）と書けます。２ｘー３ｋ＝１だからですね。
この合同式の両辺を２倍しましょう。
４ｘ≡２（mod 3）
左辺から３ｘを引きます。mod 3 で考えているのだから好きな辺から好きなだけ３の倍数を引いても相変わらず合同なのです。
ｘ≡２（mod 3）
これはｘ＝３ｋ＋２（ｋは整数）であることを意味します。さっきの答えｘ＝－３ｋ－１と同じ値たちを表すことは明らかでしょう。
簡単だ……！ いや、係数の都合などいろいろあるんでしょうが、それでもちょっと面白い解き方でしょう？
合同式、扱いに慣れておくとＲＳＡ暗号の理屈（前、ブログに書きました）の理解など、整数が絡む話を読みやすくなります。がんばりましょう。
