いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

10円玉を何枚も重ねて、どこまで遠くへずらせるか?

問題です。10円玉を図のように少しずつずらしながら重ねます。表現が難しいですが……一番上の10円玉をなるべく遠くに(なるべく右に)したいのです。10円玉は何枚使ってもOKです。どこまでも遠くにできるのか、それともどこかに限界があるのでしょうか?

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実はいくらでも遠くにできるのです。たくさんの10円玉が必要ですが、例えば100m先にも届かせることができます。

重心という言葉、数学にも出てくるし、日常語にもあります。言わば重さの中心です。ここではそこを支えると傾かない点、くらいの認識で大丈夫です。10円玉は半径1、重さも1としましょう。半径がいくらでも、重さが何でも答えには影響しません。10円玉が1枚のとき、重心はもちろんちょうど真ん中にあります。2枚だとどうなるか? 図1を見てください。

10円玉Aの下にBを滑り込ませます(上に乗せるよりこちらの方が考えやすそうな気がして、こうしました)。図1はAが傾かないよう、ギリギリまでBをずらしたところです。

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Aの重心の真下に支えが届いていないと落ちてしまうのです。このA、B(ひとまとめ)の重心は①、②の間のちょうど真ん中ですよね。次に3枚目CをBの下に入れます。図2を見てください。ここでもA、Bが傾かない、ギリギリの所まで3枚目をずらします。

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さっきと同様で、A、Bの重心(④)の真下に支えが届いていないと落ちるのです。さて、このときA、Bひとかたまりの重心は④で重さは2(10円玉2枚だから)、Cの重心は10円玉の真ん中、⑤で重さは1です。このとき実はA、B、Cの3枚の重心は⑤から④までの長さを2:1に分けた点(⑦)になります。重い方に近い位置が重心です。10円玉の半径は1なので、ここまでで(⓪から①まで)=1、(①から④まで)=1/2、(④から⑦まで)=1/3であることがわかりました。

以下同様で、次に1枚入れると新しく滑り込ませた10円玉の右端から全体の重心までの距離が1/4、1/5、1/6、………となります。つまり例えば7枚積むと一番上は

1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+(1/6)+(1/7)  だけずらすことができるわけです。ところで、この和は項の数が増えるといくらでも大きくなることが分かっています(数学ではこの事実を「調和級数の和は発散する」と表現する)。従って、枚数を十分に増やせばいくらでも遠くにできる(100km先にも!!)ことが分かりました。
 不思議な気もします。しかしきちんと示されたのだから仕方ありません。