いぬおさんのおもしろ数学実験室

おいしい紅茶でも飲みながら数学、物理、工学、プログラミング、そして読書を楽しみましょう

数学

西暦Y年M月D日の曜日を求める(1)

何回かで万年カレンダーの話をしましょう。年月日を入力すれば曜日が分かるサイトがあちこちにあります。どうやって計算しているのか、ということです。方法はひとつではありません。ここで紹介する方法は基本的に『数と図形の話』(岩堀長慶1978岩波科学の…

3×4、4×3のどちらが正しいのか?

「先生にバツにされた!」とかネットで時々話題になっています。4人にあめを3個ずつ配るとき、全部で何個、あめが必要か。3×4か、4×3か? 3個のあめを4人分なんだから3×4が正しい? 故・矢野健太郎先生(数学者)がエッセイに書いていました。矢野先生が微分…

遅刻者数の変化

A高校の生徒数を1000人としておきましょう。4月8日の遅刻者をx人とするとその日の非遅刻者は1000-x人ですね。遅刻したx人は担任に怒られて翌日はその9割が非遅刻者になるとしましょう。残る1割は懲(こ)りずにまた遅刻します。そして4月8日の非遅刻者10…

リシャールのパラドックス

リシャールのパラドックスというのを紹介しましょう。パラドックスとは、正しそうな仮定、正しそうな理屈なのに出てくる結果がおかしい、そんな議論のことです。自然数xに関する条件は無数にありますが、それを残らず考えます。条件には1番から順に番号をつ…

コナン君の蝶ネクタイ型変声機の原理

アニメ『名探偵コナン』の主人公、コナン君の蝶ネクタイはただの蝶ネクタイではありません。「蝶ネクタイ型変声機」ということになっています。彼は自分の推理を披露する際によく「腕時計型麻酔銃」で毛利探偵を眠らせ、自分の声を変声機で毛利探偵の声に変…

最小2乗法とはどんなものか

何かの実験をしたとしましょう。x軸、y軸を描きます。 例えば、図1のような結果です。実験結果ですから誤差は避けられません。結果の点は一直線上には乗っていませんね。このとき、ある人は「x、yの関係はこれだ!」と図2のように直線を引くかも知れませ…

ビエトの数学記号

数学の本を開くと、Σ、∫、f(x)、………といくらでも記号が現れます。意味がパッと伝わるように、間違えにくいように、簡潔に表現できるように使われるのです。しかし数学の記号のありがたみを分かっていない人も多いと思います。なにしろ生まれたときから数学…

くじ引きの、ちょっと不思議な話

確率の、ちょっと不思議な話を書きましょう。袋a、a’、b、b’にくじが入っています。内訳は次の通りです。袋a くじは10本。そのうち当たりは3本。当たる確率は3/10。袋b くじは60本。そのうち当たりは17本。当たる確率は17/60。袋a’ くじは30本。そのうち当…

正の数を無限個加えるとどうなるか

正の数を無限個足すことを考えます。例えばa=0.1+0.01+0.001+……とか。このaは結局a=0.1111……と考えられますから、a=1/9ということです(1÷9=0.1111……)。正の数だからと言って、無限個加えれば結果はいくらでも大きくなる、というわけではないの…

ベジェ曲線とは何か

ベジェ曲線というのを紹介しましょう。これはサインカーブみたいに、見ても「あ、ベジェ曲線だ」と分かるというものではありません。描く手順についた名前と言っていいでしょう。下の図を見てください。ウィキペディアにありました。 今、ゲームで戦闘機が図…

琵琶湖はどのくらい膨らんでいるか

琵琶湖の南北長はa=63.5(km)です。湖面は地球に沿うはずですから、湖の中心部分は周囲よりもふくらんでいます。 図で、弧aが湖面。hだけ膨らんでいます。r=6378100(m)は地球の半径です。真っ平らな板を渡すと湖の中心部分は上側にある程度はみ出る…

虚数は実在するのか?

「複素数」というのが数学に出てきます。「1 + 2 i」のような形の数を言います。iは虚数単位と呼ばれ、i^2=-1なのでした(「x^2」でxの2乗を表すものとします)。i がついてない数は実数、i がついた数は虚数と呼びます。例えば 実数である1 は、1=1…

友だちと旅行に行ったときの精算の仕方

熱海に行ってきました。職場に出入りしている業者さんにも美味しい店を聞きました。1泊10000円ちょっとで温泉もなかなかよかったし、穴場だったのかも……と思いました。 さて、こういった旅行でよく問題になる「精算」。例えばA、B、Cの3人で出かけ、Bが…

πの求め方を、流れだけ説明(2)

前回、πを求めるためのライプニッツの級数を紹介しました。しかしこのライプニッツの級数は、がんばって計算しても細かな値まで求めるのは非常に大変なのです。1000項計算しても3.14までしか求まらないそうです。きれいな式ですし、理論的には十分なんですが…

πの求め方を、流れだけ説明(1)

πの求め方について書きましょう。πの求め方と言っても、1.どういう理屈でπが求まるのか2.理屈はそうであっても具体的にどうやって求めればよいのかと、問題は2つあります。ここでは1番目について、流れだけを書きましょう。 大学で勉強する微分積分にarctan …

背理法の証明でこれをやってはいけません

前回、条件文について書きました。続けて背理法について見てみます。背理法というのは証明の仕方のひとつです。定理にはまともに証明しようとしてもなかなか難しいものがあります。そういうときに有効な方法です。簡単な例ですが、「X+1≧0 ならば、X≧-…

条件文「pならばq」はどんなとき真になり、どんなとき偽になるのか

条件文について書いてみます。p、qを命題とします。命題とは真偽が定まっている式や文でした。「私は人間です」や「1=3」は命題です。それぞれ、真の命題、偽の命題と言うのでした。しかし例えば「ワンワン!(犬の鳴き声)」とか「ふー、やれやれ(疲れ…

相乗平均の意味、実例

高校の数学Ⅱで相加平均、相乗平均というのが出てきます。足して2で割るなら分かるけど、かけ算してルートを計算って、何の意味があるんでしょうか。ある先生が「縦横2,8の長方形の面積は16。同じ面積の正方形は一辺√16=4。そういう意味で2,8の一種の平均…

ラグランジュの補間法

次の表を見て、yをxで表してみて下さい。つまり、x=1のときy=3、x=2のときy=7、x=3のときy=11となるような式を求めて下さい。 「等差数列だ!」と思いますよね。等差数列の一般項を求めれば 3+(x-1)・4=4x-1 とやって y=4x-1 を得ま…

GPSのない時代に海上で経度をどう求めていたか

今ではGPSがあり、自分がどこにいるのかリアルタイムで分かります。しかし昔はそうではありませんでした。例えば海上では暗礁(あんしょう)など危ないところもありますし(実際に事故も多かった)、測位(自分がどこにいるのか、位置を求めること)の技術が…

グーグルの社員募集広告

2004年、アメリカのシリコンバレーの高速道路脇に「{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com」という看板が出たそうです。日本語に訳すと「{自然対数の底(てい)eの中の連続する10桁の最初の素数}.com」です。少し意味が取りづらいかも…

テキスト『線形代数セミナー』紹介

『線形代数セミナー-射影,特異値分解,一般逆行列-』(金谷健一2018共立出版)の紹介です。これは凄い本です。工学などへの応用で出てくる行列は対称行列が多いそうです。この対称行列の固有値分解、特異値分解、一般逆行列などについて大変分かりやすい…

円周上に開いた穴を、他に影響を与えずに塞ぐ

数直線はビッシリ、点で埋まっています。座標が1の点、√2の点、√2+1の点、……、無数の点があります。今、原点(x=0)にある1点を取り除きましょう。x=0の位置に穴が開く、と思えばよいわけです。どこかから点を持ってきてこの穴を埋めることにします。x=…

円周率を有理数で近似する

円周率を有理数(分数)で近似してみます。円周率は無理数なのでした。有理数ではないのですから整数/整数の形には書けません。しかし円周率に近い有理数ならいくつもあるのです。 を示しましょう。 連分数の扱いに慣れていればいいんですが、ここでは基礎…

容器2個で決まった量を測る問題を2元1次不定方程式で解く

映画『ダイ・ハード3』で、主人公のマクレーン刑事が悪い奴らに「3ガロンの容器と5ガロンの容器を使い、4ガロンの水を測れ」という問題を解かされる場面があります。制限時間内に解かないとどこかが爆破される、という話でした。ガロンというのは体積の単位…

10円玉を何枚も重ねて、どこまで遠くへずらせるか?

問題です。10円玉を図のように少しずつずらしながら重ねます。表現が難しいですが……一番上の10円玉をなるべく遠くに(なるべく右に)したいのです。10円玉は何枚使ってもOKです。どこまでも遠くにできるのか、それともどこかに限界があるのでしょうか? 実は…

sin3°の値の範囲を求める

アリスタルコス(紀元前310年~紀元前230年頃、古代ギリシャの天文学者、数学者)は太陽と地球の間の距離を求めるため を示したそうです。関数電卓によるとsin3°≒0.05233595……なので、確かに成立はしています(1/20=0.05、1/18=0.0555……)。sinの値のう…

10円玉の周りで10円玉を回す

試したしたこと、あるでしょう。10円玉を2枚ピッタリくっつけて並べます。2枚を10円玉1、10円玉2とします。 10円玉1の周りを縁(ふち)が滑らないように10円玉2を回すと、10円玉2は元の位置に戻るまでに2回、自転します。2つの10円玉の円周は当然等しいですか…

銀河系で毎年恒星は何個ずつ生まれているのか

ぼくたちが住んでいる地球は太陽系(太陽と、水星~海王星)に属しており、太陽系はさらに大きいグループ、銀河系に属しています。太陽のように自分で光を出す星を恒星と言い、恒星は銀河系内で毎年生まれたり死んだりしています。で、問題。この銀河系では…

島にいるサルの数とスペースマウンテンの台数の関係

タイトル、これでは何だか分かりませんよね……。 サルがたくさんいる島があります。サルの数は一定なのですが、何匹なのかは分かりません。サルはこの島では毎年10匹生まれ、サルの寿命は20年だとします。さて、サルは何匹いるのでしょうか。 出題の仕方は違…